6.3 Métodos de pasos múltiples

3.2 Método de Gauss-Jordan

Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier ). Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo el ejemplo. Aplicando el método de Gauss llegamos a la siguiente ecuación: Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por y la restamos a la primera: Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo: Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por y la restamos a la primera: Repetimos la operación con la segunda fila: Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por y la sumamos a la primera: Eliminacion Gaussiana Simple Eliminación gaussiana simple Se parte de un problema de la forma: Ax=b Para ser transformado en uno de la forma: Ux=b’ U:matriz triangular superior, b:vector de coeficientes transformado Aplicando sustitución regresiva se pueden despejar todos los términos de x fácilmente. Cabe destacar que el error de redondeo es más grande en la etapa de transformación a matriz triangular superior que en la etapa de despeje. Para obtener la matriz triangular superior se parte de lo siguiente: Para obtener una matriz equivalente se pueden realizar tres operaciones elementales: intercambiar filas, multiplicar una fila por escalares distintos de cero o sustituir una fila por el resultado de la suma de una fila con el múltiplo de alguna otra fila. Esta ultima es la que será implementada en dicho proceso para hacer la matriz A equivalente a la matriz U y que por ende tengan la misma solución. Por lo tanto en cada etapa k debe buscarse un multiplicador mik, donde mik=aik/akk 1<=k<=n-1 Para: K+1<=i<=n Toda fila i nueva se calcula como aijN=aij-Mikakj para k<=j<=n+1 dado que es un proceso finito se realizan n-1 etapas. Problemas asociados al método: -Error de redondeo: al realizar la sustitución progresiva o regresiva cada resultado depende todos los anteriores. -Cero en la diagonal: dado que el método implica divisiones por los elementos de la diagonal un cero en ella implicaría un error por truncamiento. para solucionar esto se debe hacer un intercambio con alguna fila que no tenga cero en dicha posición, si no es posible el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones. -Elemento cercano a cero en la diagonal: si esto ocurriera es posible que la solución obtenida sea completamente incoherente, por lo tanto se debe buscar intercambio de filas igual que en el caso anterior. -Matriz inestable: ocurre cuando al hacer un pequeño cambio en la entrada produce grandes cambios en la salida. Pseudocodigo eliminacion gaussiana simple Lea A, b Ab=[A b] Para k= 1 hasta  n – 1             Para i= k + 1 hasta n                         Mik= Abik/Abkk                                                                   Para j= k hasta n+1                                                Abik= Abij – mik. Abkj                                           Fin para                                Fin para Fin para X(n)=Ab(n,n+1)/Ab(n,n) para i=n-1hasta 1 paso -1     acum=0     para j= i+1 hasta n         acum = acum + Ab(i,j)*X(j)       Fin para     X(i)=(Ab(i,n+1)-acum)/Ab(i,i) Fin para Muestre A Muestre X