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4.2 Polinomios de interpolación: Diferencias divididas de Newton y de Lagrange

4.2 Polinomios de interpolación: Diferencias divididas de Newton y de Lagrange 
INTERPOLACIÓN LINEAL
La fórmula más simple es la de conectar dos puntos con una linea recta. Este método, llamado Interpolación Lineal, se muestra en la figura 1.

Fig. 1
Usando triángulos semejantes, se tiene: 
(2)
Que se puede reordenar como: 
(3)
La cuál es la fórmula de interpolación lineal. La notación f1(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [ f(X1) - f(X2) ] / (X1 - X2) es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre mas pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será la aproximación.
INTERPOLACION CUADRATICA
Si se dispone de tres puntos lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado tambien polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es: 
(4)
Nótese que aunque la ecuación (4) parezca diferente de la ecuación general de un polinomio (1), las dos ecuaciones son equivalentes.
Esto se puede demostrar si se multiplican los términos de la ecuación (4) y obtener:
(5)
 
o, agrupar términos:

(6)

en donde: 

(7)
De esta manera, las ecuaciones (1) y (4) son fórmulas alternativas equivalentes del único polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.
Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para b0, se usa la ecuación (4) con X = X0, y se obtiene
b0 = f(X0)


(8)
sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (4) y evaluando en X = X1 se obtiene: 
(9)

Y por último, las ecuaciones (8) y (9) se sustituyen en la ecuación (4), y se evalua ésta en X = X2 y se obtiene: 
(10)

Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aún representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación (4) son equivalentes a la interpolación de X0 a X1, como se especificó anteriormente en la ecuación (3). El último término, b2(X-X0)(X-X1), introduce la curvatura de segundo orden en la fórmula.
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas. Este se puede representar concretamente como: 
(1)
en donde: 
(2)
 
 Denota el "producto de".

Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es: 
(3)
y la versión de segundo orden es:
(4)
 
al igual que en el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error aproximado dado por:

(5)

La ecuación (1) se deriva directemente del polinomio de Newton. Sin embargo, la razon fundamental de la formulación de Lagrange se puede comprender directamente notando que cada término Li(X) será 1 en X=Xi y 0 en todos los demas puntos.
Por lo tanto, cada producto Li(X) f(Xi) toma un valor de f(Xi) en el punto Xi. Por consiguiente la sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación (1) es el único polinomio de n-ésimo orden que pasa exactamente por los n+1 puntos. 

CODIGO:

Polinomio Interpolante Newton

Polinomio interpolante de newton con diferencias divididas
Este método no tiene que ver con la solución de sistemas de ecuaciones sino con la inferencia de una ecuación polinomica que representa un conjunto de puntos (x,y). El polinomio puede ser a lo sumo de grado n si se tienen n+1 puntos.
En programación resulta muy sencillo realizar una matriz donde se almacenan las diferencias divididas y luego asignar a bi los valores de la primera fila de dicha matriz, dado que en cada paso se calcula una diferencia dividida menos, se obtiene una matriz triangular superior para la matriz que almacena las diferencias divididas

Pseudocódigo interpolación newton con diferencias divididas

Lea x,f,n
D = zeros(n+1,n+1);
D(:,1) = f;

para j=2:n+1
   para i=1:n-j+2
      D(i,j) = (D(i+1,j-1)-D(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));
   fin
fin


para i=1:n+1
    escriba('El b(i-1) es igual a : D(1,i))
fin

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