4.3 Regresión por mínimos cuadrados: Lineal y Cuadrática.

4.3 Regresión por mínimos cuadrados: Lineal y Cuadrática.

La dependencia entre dos (o más) variables puede ser tal que se base en una relación funcional (matemática) exacta, como la existente entre la velocidad y la distancia recorrida por un móvil; o puede ser estadística. La dependencia estadística es un tipo de relación entre variables tal que conocidos los valores de la (las) variable (variables) independiente(s) no puede determinarse con exactitud el valor de la variable dependiente, aunque si se puede llegar a determinar un cierto comportamiento (global) de la misma. (Ej. la relación existente entre el peso y la estatura de los individuos de una población es una relación estadística) .

Pues bien, el análisis de la dependencia estadística admite dos planteamientos (aunque íntimamente relacionados):

El estudio del grado de dependencia existente entre las variables que queda recogido en la teoría de la correlación.

La determinación de la estructura de dependencia que mejor exprese la relación, lo que es analizado a través de la regresión.

Una vez determinada la estructura de esta dependencia la finalidad última de la regresión es llegar a poder asignar el valor que toma la variable Y en un individuo del que conocemos que toma un determinado valor para la variable X (para las variablesX1, X2,..., Xn ).

En el caso bidimensional, dadas dos variables X e Y con una distribución conjunta de frecuencias ( xi, yj ,nij ), llamaremos regresión de Y sobre X ( Y/X) a una función que explique la variable Y para cada valor de X, y llamaremos regresión de X sobre Y (X/Y) a una función que nos explique la variable X para cada valor de Y.(Hay que llamar la atención, como se verá más adelante, que estas dos funciones, en general, no tienen por qué coincidir).

MÉTODO DE CUADRADOS MÍNIMOS – REGRESIÓN LINEAL.

Hemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemos visto la utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (X, Y) junto a las distintas maneras de llevar a cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables X e Y.

Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta a nuestros datos? El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables X e Y es lineal, el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal.

Observamos o suponemos una tendencia lineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es lamejor recta:

 y(x) = a x + b

 Que representa este caso de interés. Es útil definir la función:

Que es una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal a x + b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son los valores que remplazados en la Ec.(1) minimizan la funciónc2. Ec.(2). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo diferencial. Aplicando estas técnicas, el problema de minimización se reduce al de resolver el par de ecuaciones:

Actualmente, la mayoría de los programas de análisis de datos y planillas de cálculo, realizan el proceso de minimización en forma automática y dan los resultados de los mejores valores de a y b, o sea los valores indicados por las ecuaciones.

Gráfico de datos asociados a un modelo lineal. La cantidad yi - y(xi)
representa la desviación de cada observación de yi respecto del valor predicho por
el modelo y(x).

El criterio de mínimos cuadrados reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos y defina cuál es la mejor recta. En los programas como Excel, se realiza usando la herramienta “regresión lineal” o “ajuste lineal”. Los resultados se aplican en el caso lineal cuando todos los datos de la variable dependiente tienen la misma incertidumbre absoluta y la incertidumbre de la variable independiente se considera despreciable.

REGRESIÓN MÍNIMO-CUADRÁTICA

Consiste en explicar una de las variables en función de la otra a través de un determinado tipo de función (lineal, parabólica, exponencial, etc.), de forma que la función de regresión se obtiene ajustando las observaciones a la función elegida, mediante el método de Mínimos-Cuadrados (M.C.O.).

Elegido el tipo de función ¦ ( ) la función de regresión concreta se obtendrá minimizando la expresión:

(y_j - ¦ (x_i ) ) ². n_ij en el caso de la regresión de Y/X

   (x_i - ¦ (y_j ) ) ². n_ij en el caso de la regresión de X/Y 

Puede probarse que es equivalente ajustar por mínimos cuadrados la totalidad de las observaciones (toda la nube de puntos) que realizar el ajuste de los puntos obtenidos por la regresión de la media; de forma que la regresión mínimo-cuadrática viene ser, en cierto modo, la consecución de una expresión analítica operativa para la regresión en sentido estricto.

Coeficientes de regresión.

Se llama coeficiente de regresión a la pendiente de la recta de regresión:

                                            en la regresión Y/X : b = S_xy / S_x² 

                                            en la regresión X/Y b' = S_xy / S_y²  

El signo de ambos coincidirá con el de la covarianza, indicándonos la tendencia (directa o inversa a la covariación).Es interesante hacer notar que b.b'= r²

BONDAD DEL AJUSTE (Varianza residual, varianza de la regresión y coeficiente de determinación)

Por bondad del ajuste hay que entender el grado de acoplamiento que existe entre los datos originales y los valores teóricos que se obtienen de la regresión. Obviamente cuanto mejor sea el ajuste, más útil será la regresión a la pretensión de obtener los valores de la variable.

Obtener indicadores de esta bondad de ajuste es fundamental a la hora de optar por una regresión de un determinado tipo u otro.

Puesto que la media de los residuos se anula, el primer indicador de la bondad del ajuste (no puede ser el error medio) será el error cuadrático medio, o varianza del residuo, o varianza residual :

Considerando la regresión Y/X:

Que será una cantidad mayor o igual que cero.De forma que cuanto más baja sea mejor será el grado de ajuste.Si la varianza residual vale cero el ajuste será perfecto (ya que no existirá ningún error ).

  Del hecho de que y_i=y*_i+e_i ,y de que las variables y* ý e están incorrelacionadas se tiene que:

  Donde S²_y* es la llamada varianza de la regresión y supone la varianza de la variable regresión:

Igualdad fundamental anterior de la que se deduce que la varianza total de la variable y puede descomponerse en dos partes una parte explicada por la regresión( la varianza de la regresión) y otra parte no explicada (la varianza residual).

Considerando que la varianza nos mide la dispersión de los datos este hecho hay que entenderlo como que la dispersión total inicial queda, en parte explicada por la regresión y en parte no.Cuanto mayor sea la proporción de varianza explicada (y menor la no explicada) tanto mejor será el ajuste y tanto más útil la regresión.

A la proporción de varianza explicada por la regresión se le llama coeficiente de determinación ( en nuestro caso lineal):

que evidentemente estará siempre comprendido entre 0 y 1 y, en consecuencia, da cuenta del tanto por uno explicado por la regresión.

Una consecuencia importante en la práctica es que la varianza residual será obviamente:

Es sencillo probar que en el caso lineal que nos ocupa el coeficiente de determinación coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación: 

R² = r²

Con lo cual la varianza residual y la varianza debida a la regresión pueden calcularse a partir del coeficiente de correlación:

REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA NO-LINEAL

La regresión mínimo-cuadrática puede plantearse de forma que la función de ajuste se busca no sea una función lineal. El planteamiento general sería similar, aunque obviamente habría que minimizar el cuadrado de los residuos entre los datos originales y los valor teóricos obtenibles a través de la función no-lineal considerada.

Regresión parabólica .Desarrollaremos someramente la regresión Y/X y debe quedar claro que la regresión X/Y resultaría análoga.

Supongamos para simplificar que los datos no están agrupados por frecuencias.

En tal caso, obtener la función parabólica y* = a₀+a₁x+a₂ x² se llevará a cabo determinado los valores de los tres parámetros a₀,a₁,a₂ que minimicen :

                            y (a₀,a₁,a₂)=S (yi- (a₀+a₁x+a₂ x²)) ²

Igualando a cero las tres derivadas parciales se obtendrá las ecuaciones normales, que convenientemente manipuladas acaban siendo:

Sistema de ecuaciones del que se pueden despejar los valores de los coeficientes de regresión.

CODIGO:

function [m,b]=mincuadlin(X)
n=length(X(1,:));
A=0;
B=0;
C=0;
D=0; 

for i=1:n;
    A=A+X(1,i);
    B=B+X(2,i);
    C=C+(X(1,i))^2;
    D=D+X(1,i)*X(2,i);
end 

m=(n*D-A*B)/(n*C-A^2);
b=(C*B-D*A)/(n*C-A^2);
 
for i=1:n;
    hold on;
    plot (X(1,i),X(2,i),'*','MarkerEdgeColor','r','LineWidth',1);
end 

x=X(1,1):1:X(1,n);
y=m*x+b;
plot(x,y,'b');
title('Aproximación lineal por mínimos cuadrados.');


Por ejemplo, para los datos {(1,0),(2,3),(3,4),(4,-6),(5,2),(6,4),(7,0),(8,4),(9,3)}, se escribe en el Command Window:
>>X=[1 2 3 4 5 6 7 8 9; 0 3 4 -6 2 4 0 4 3];
>>[m,b]=mincuadlin(X)
Y el programa entrega los resultados:
m = 0.2833
b = 0.1389