5.2 Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.
Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.
reordenando los terminos, se obtiene:
para obtener
En matemáticas la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.
La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que
y donde el término error corresponde a:
Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].
Regla del trapecio compuesta
La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida
representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:
Donde y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:
REGLAS DE SIMPSON:
Ademas
de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez mas finos, otra
manera de obtener una estimacion mas exacta de una integral, es la de
usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.
A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuacion:
Si
a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante un
polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:
Despues de integrar y de reordenar terminos, resulta la siguiente ecuacion:
Asi
como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el
intervalo de integracion en segmentos de igual anchura.
h=(b-a)/n
La integral total se representa como:
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:
reordenando los terminos, se obtiene:
De
manera similar a la derivacion de la regla trapezoidal y a la regla de
Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a
cuatro puntos e integrar;
para obtener
En donde
h=(b-a)/3.
A
esta ecuacion se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un
multiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integracion de
Newton-Cotes.
La
regla de Simpson de 1/3 es, en general, el mrtodo de preferencia ya que
alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de
cuatro puntos necesarios para la version de 3/8.
No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos multiples cuando el numero de segmentos es impar.
Para
una estimacion de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la
regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson
de 3/8 a los ultimos tres.
De esta manera, se obtiene una estimacion con exactitud de tercer orden a traves del intervalo completo
CODIGO:
/////////////////METODOS NUMERICOS///////////////// ////////////////UNIDAD:5//////////////////////////// ///////////PROFESOR:FAMAGU///////////////////////// ////////ALUMNO:lUIS jesus Moreno Espinosa////////// ////////TEMA:5//////////////////////////////////// ///////PROGRAMA:5.2 Integración numérica: Métodos de Simpson 1/3 y 3/8 ///////ELABORADO EN :MATHLAB 2017////////////////// //////CARRERA:MECATRONICA///////////////////////// function q=simp(x,y); n=length(x)-1; if (n/2)~=floor(n/2) disp('n tiene que ser par'); break; end h=x(2)-x(1); v=2*ones(n+1,1); v2=2*ones(n/2,1); v(2:2:n)=v(2:2:n)+v2; v(1)=1;v(n+1)=1; q=(h/3)*y*v;
//////////////////METODOS NUMERICOS///////////////// ////////////////UNIDAD:5//////////////////////////// ///////////PROFESOR:FAMAGU///////////////////////// ////////ALUMNO:lUIS jesus Moreno Espinosa////////// ////////TEMA:5//////////////////////////////////// ///////PROGRAMA:5.2 Integración numérica: Método del trapecio, ///////ELABORADO EN :MATHLAB 2017////////////////// //////CARRERA:MECATRONICA///////////////////////// iexacto=log(2); n=2; error1=0; for i=1:10 x=linspace(1,2,n+1); y=1./x; iaprox=trapz(x,y); error=iexacto-iaprox; ratio=error1/error; disp(['n=' num2str(n) ', iaprox=' num2str(iaprox,6) ',error=' num2str(error,6) ',ratio=' num2str(ratio,6)]) n=2*n; error1=error; end
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