Ir al contenido principal

5.2 Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.

5.2 Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8. 
Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.

En matemáticas la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.



 

La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).


La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que
y donde el término error corresponde a:
Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].
 
 
Regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida
representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:
Donde y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:

REGLAS DE SIMPSON:

Ademas de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez mas finos, otra manera de obtener una estimacion mas exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.
A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.

·         REGLA DE SIMPSON DE 1/3
 
 La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuacion:
Si a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:
Despues de integrar y de reordenar terminos, resulta la siguiente ecuacion:
 
·         REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES.

Asi­ como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integracion en segmentos de igual anchura.
 
h=(b-a)/n
La integral total se representa como:

Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:

reordenando los terminos, se obtiene: 


·         REGLA DE SIMPSON DE 3/8.

De manera similar a la derivacion de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar;

para obtener


En donde
h=(b-a)/3.

A esta ecuacion se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un multiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integracion de Newton-Cotes.
 
·         REGLA DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES.

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el mrtodo de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la version de 3/8.
No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos multiples cuando el numero de segmentos es impar.
Para una estimacion de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los ultimos tres.
De esta manera, se obtiene una estimacion con exactitud de tercer orden a traves del intervalo completo
 CODIGO:
/////////////////METODOS NUMERICOS/////////////////
////////////////UNIDAD:5////////////////////////////
///////////PROFESOR:FAMAGU/////////////////////////
////////ALUMNO:lUIS jesus Moreno Espinosa//////////
////////TEMA:5////////////////////////////////////
///////PROGRAMA:5.2 Integración numérica:  Métodos de Simpson 1/3 y 3/8
///////ELABORADO EN :MATHLAB 2017//////////////////
//////CARRERA:MECATRONICA/////////////////////////












function q=simp(x,y);
n=length(x)-1;
if (n/2)~=floor(n/2)
disp('n tiene que ser par');
break;
end
h=x(2)-x(1);
v=2*ones(n+1,1);
v2=2*ones(n/2,1);
v(2:2:n)=v(2:2:n)+v2;
v(1)=1;v(n+1)=1;
q=(h/3)*y*v; 


//////////////////METODOS NUMERICOS/////////////////
////////////////UNIDAD:5////////////////////////////
///////////PROFESOR:FAMAGU/////////////////////////
////////ALUMNO:lUIS jesus Moreno Espinosa//////////
////////TEMA:5////////////////////////////////////
///////PROGRAMA:5.2 Integración numérica: Método del trapecio, 
///////ELABORADO EN :MATHLAB 2017//////////////////
//////CARRERA:MECATRONICA/////////////////////////








iexacto=log(2);
n=2;
error1=0;
for i=1:10
x=linspace(1,2,n+1);
y=1./x;
iaprox=trapz(x,y);
error=iexacto-iaprox;
ratio=error1/error;
disp(['n=' num2str(n) ', iaprox=' num2str(iaprox,6) ',error=' num2str(error,6) ',ratio=' num2str(ratio,6)])
n=2*n;
error1=error;
end

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

6.3 Métodos de pasos múltiples

6.3 Métodos de pasos múltiples Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso. Observe la ecuación ec. 2  alcanza ) a expensas de emplear un tamaño de paso mas grande, 2h. Además...
Publicar un comentario
Leer más

6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta

6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta   Método de Euler El método de Euler es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema del siguiente tipo: Consiste en multiplicar los intervalos que van de x0 a xf en n subintervalos de ancho h; Osea: de manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 puntos: x0, x1, x2, ... , xn del intervalo de interés [x0,xf]. Para cualquiera de estos puntos de cumple que:  0<i<n. La condición inicial y(x0)=y0, representa el punto P0=(x0,y0) por donde pasa la curva solución de la ecuación del plantamiento inicial, la cual se denotará cmo F(x)=y. Ya teniendo el punto P0 se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese punto; por lo tanto: Con esta información se traza una recta, aquella que ...
Publicar un comentario
Leer más

2.1 Métodos de intervalos: Gráficos, Bisección y falsa posición

2.1 Métodos de intervalos: Gráficos, Bisección y falsa posición. El problema de obtener las soluciones o raíces de una ecuación algebraica o trascendente de la forma F(x)=0 se representa frecuentemente dentro el campo de la ingenierá. Se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hace a f(x) = 0. Asi, que un método simple para obtener a la raíz de la ecuación f(x)=0, consiste en graficar la función y observar donde cruza el eje x. Por eso estos tipos de métodos, son llamados "Métodos Graficos" Debido a ello, el desarrollo de métodos que nos permiten solucionarlo es amplio; en esta unidad presentamos algunos para determinar las raíces reales o complejas de ecuaciones de este tipo, tales como: Método de Bisección o Bolzano El método de la bisección o también llamado Método de Bolzano, parte de una funcion F(x) y un intervalo [x1,x2] tal que F(x1) y F(x2) tienen signos contrarios. Si la función es continua en este intervalo, entonces existe una raíz de F(x)...
Publicar un comentario
Leer más