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3.7 Obtención de Eigenvalores y Eigenvectores

3.7 Obtención de Eigenvalores y Eigenvectores

Valor propio

Se dice que el número λ, real o complejo, es un valor propio A si existe un vector no nulo u, real o complejo tal que
Au = λu, es decir (A − λI )u = 0

Vector propio

El vector u se denomina vector propio de A asociado al valor propio λ.

Polinomio característico

En general, el polinomio que resulta de desarrollar |A − λI|, cuyos ceros son precisamente los valores propios de A,
se denomina polinomio característico.

Radio espectral

Se denomina radio espectral ρ de una matriz A al valor  ρ(A) = max1≤i≤n|λi|

Valores propios de una matriz cualquiera
Si λ es complejo, entonces u es complejo.
Los valores propios de B = C−1
AC son los mismos de A. Si x es el vector propio asociado a λ, entonces
Cx es un vector propio de B asociado a λ.

Valores propios de matrices simétricas
Si D es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios de A, entonces existe una matriz ortogonal Q tal que           D = Q^−1 AQ = Q^t AQ.
Asimismo, existen n vectores propios de A que forman un conjunto ortonormal, y coinciden con las columnas de la matriz ortogonal Q.
Todos los valores propios de A son reales.
A es definida positiva si y s´olo si todos los valores propios de A son positivos.

Métodos de obtención del polinomio característico




Método de obtención para valores propios.



CODIGO:

MATLAB Hallar los Eigenvectores de una matriz

En este ejemplo se muestra como encontrar los eigenvalores, la transformación diagonal y los eigenvectores de una matriz cuadrada si y solo si los eigenvalores son diferentes de cero y deferentes de si mismos, si no es así el resultado sera erróneo.
MATLAB regresa los valores de los vectores propios de una manera peculiar, sin embargo la realización de  este script se trata de que los vectores propios sean de preferencia números enteros reales como en la mayoría de ejemplos de los libros de álgebra lineal y control automático.

% ************************************************************************
% * Este script encuentra los eigenvalores y eigenvectores de una matriz *
          % ************************************************************************
clc;clear all;close all; 
disp('Eigenvalores y Eigenvectores de una matriz')
disp(' ')
q=input('Ingrese la dimención de la matriz A: ');
A=zeros(q);
for i = 1:q       
    for j = 1:q   
        A(i,j) = input(strcat('Ingrese valor numerico de A (',num2str(i),',',num2str(j),') : '));
    end 
end
[vec,val]=eig(A);
('los eigenvalores de la matriz son: ')
L=diag(val)
V=zeros(q);
for k = 1:q
    s1=(vec(:,k));
    s2=(min(abs(s1)));
    if (s2 == 0)
        s2= (max (abs (s1)));
    end
     for n=1:q
         s3(n,1)=( s2 == s1(n,1));
     end
     s4=sum(s3');
     if (s4 == 0)
         vp=(-1/s2).*vec(:,k);
     else
         vp=(1/s2).*vec(:,k);
     end
     for h = 1:q
         V(h,k)=vp(h,1);
     end
end
('los eigenvectores de la matriz son: ')
V
clear all;close all;



*Para facilitar el entendimiento del método y de las fórmulas se optó por
no modificar el formado de  la información obtenida, 
se usaron impresiones de pantalla. 

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