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3.6 Método de Krylov


3.6 Método de Krylov

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        Las matrices  de orden  nxn  no singulares  poseen un polinomio caracter´ısco ; las ra´ıces de este polinomio  son  llamados  valores característicos (eigenvalores) y  cada  valor  car´acter´ıstico  tiene  asociado  un  vector caracter´ıstico (eigenvector). 
Iniciando  con la determinaci´on del polinomio  característico. El polinomio  característico de la matriz A se obtiene  por medio de la expresión:


|A − λI | = 0     (1)


El resultado de este determinante es un polinomio en  función de λ de grado igual al orden de la matriz  A, en este caso, de orden n. Este  polinomio  característico  posee n  raíces, o valores  característicos ; por lo cual, la matriz A de orden n posee n valores  característicos.


El polinomio  característico es de la forma:

                                  a0λn + a1λn−1 + a2λn−2 + ... + an−1 λ + an= 0             (2)



        El método de Krylov  se fundamenta en la  aplicación  del Teorema  de Cayley-Hamilton, mismo que establece que toda matriz  A verifica su  ecuación característica:


F (A) = 0             (3)

        Es decir, si sustituimos  a la matriz  A en el polinomio, el resultado  deber´a ser cero. Sin embargo, operativamente es necesario hacer  algunos comentarios.  De inicio, la matriz  A es de orden  n, por lo cual la  sustitución  arrojar  un sistema  de n ecuaciones lineales; en consecuencia,  el coeficiente a0  deberá  ser diferente  de cero. Resulta  conveniente  hacer que este coeficiente sea la unidad,  por lo cual se divide el polinomio entero  por a0, resultando:

λn + b1 λn−1 + b2 λn−2 + ... + bn−1 λ + bn= 0           (4)


Donde los coeficientes bi  se obtienen  como bi  =  ai/a0. Aplicando  el teorema  de Cayley-Hamilton en el polinomio anterior:

F (A) = An + b1An−1 + b2An−2 + ... + bn−1A + bnI = 0           (5)

        El polinomio 5 representa un sistema de ecuaciones lineales cuyas  incógnitas  son los coeficientes bi . La  solución de este sistema nos proporciona  los coeficientes bi  que sustituidos  en el polinomio 4 nos proporciona el polinomio  característico de A.

        Una forma  sencilla de realizar  este procedimiento es simplificar  la  elevación de la matriz  A a las potencias necesarias.  Esto  se logra multiplicando  la matriz  A por un vector  y¯ compatible  diferente de cero. Debe recordarse  que la  multiplicación de una  matriz  por un vector  compatibles  arroja  un vector.

        Este vector y¯ puede ser libremente  elegido,  proponiéndose que su  conformación permita  realizar  de mejor forma las operaciones.  Una buena  elección es elegir al vector con la forma:

 y¯ = | 1 |
        | 0 |
        | 0 |
        |... |
        | 0 |


Ubicando al elemento 1 en una posicion estrat´egica de acuerdo con los coeficientes de A de tal forma que se minimicen  las operaciones.

Atendiendo a la anterior  recomendación, el sistema que de la forma:

An y¯ + b1 An−1 y¯ + b2An−2 y¯ + ... + bn−1Ay¯ + bny¯I = 0              (6)

Finalmente, el sistema  de ecuaciones puede ser resuelto  por el  método de preferencia.


El  método de Krylov debe utilizarse  en conjunto con un  método de  solución de sistemas de ecuaciones lineales. Esta  unión arroja  una alternativa muy apropiada cuando  se trata de evitar  resolver determinantes de orden mayor considerando  que se debe hacer en forma  analítica.

CODIGO MATHLAB:

close all
clear all
clc
 
%matriz cuadrda

N=input('Introduce el tamaño de matriz:');
A=input('Introduce la matriz cuadrada:');
 
% Aqui inicializamos las matrices a rellenar con valores calculados

C=zeros(N,N);
y=zeros(N,1);
y(1)=1;
syms x;
C(:,N)=y;
%Aqui va el ciclo

for i=(N-1):-1:1
C(:,i)=A*C(:,(i+1));
end
a=-(A^N)*y;
 
%Calcular los coeficientes b1, b2,... bn

 
b=inv(C)*a;
 
 
p=x^(N);
for i=2:(N+1)
    p=p+x^(N-(i-1))*b(i-1); %el primer termino b va en el 2° de p

end
p
p2=sym2poly(p);
%Calculamos las raices del polinomio

 
r = roots(p2)



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