3.1 Método de eliminación Gaussiana

3.1 Método de eliminación Gaussiana

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En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:
Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:

x1+2x2+3x3= 9

4x1+5x2+6x3= 24

3x1+x2+2x3= 4

Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:

-4x1-8x2-12x3=-36

4x1+5x2+6x3=24

sumándolas resulta

-3x2-6x3=-12

La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

x1+2x2+3x3= 9

0x1-3x2-6x3= -12

3x1+x2-2x3= 4

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

x1+2x2+3x3= 9

0x1-3x2-6x3= -12

0x1-5x2-11x3=-23

Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.

Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:

x1+2x2+3x3= 9

0x1+x2+2x3= 4

0x1+0x2+x3= 3

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá:

x3= 3

x2= 4-2(x3) = -2

x1= 9-3(x3)-2(x2) = 4

Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.

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