3.1 Método de eliminación Gaussiana

3.1 Método de eliminación Gaussiana

Resultado de imagen para eliminacion gaussiana

En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:
Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:

x1+2x2+3x3= 9

4x1+5x2+6x3= 24

3x1+x2+2x3= 4

Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:

-4x1-8x2-12x3=-36

4x1+5x2+6x3=24

sumándolas resulta

-3x2-6x3=-12

La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

x1+2x2+3x3= 9

0x1-3x2-6x3= -12

3x1+x2-2x3= 4

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

x1+2x2+3x3= 9

0x1-3x2-6x3= -12

0x1-5x2-11x3=-23

Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.

Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:

x1+2x2+3x3= 9

0x1+x2+2x3= 4

0x1+0x2+x3= 3

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá:

x3= 3

x2= 4-2(x3) = -2

x1= 9-3(x3)-2(x2) = 4

Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.

Comentarios

Entradas populares de este blog

6.3 Métodos de pasos múltiples

6.3 Métodos de pasos múltiples Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso. Observe la ecuación ec. 2 alcanza ) a expensas de emplear un tamaño de paso mas grande, 2h. Además, ob

6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta

6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta Método de Euler El método de Euler es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema del siguiente tipo: Consiste en multiplicar los intervalos que van de x0 a xf en n subintervalos de ancho h; Osea: de manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 puntos: x0, x1, x2, ... , xn del intervalo de interés [x0,xf]. Para cualquiera de estos puntos de cumple que: 0<i<n. La condición inicial y(x0)=y0, representa el punto P0=(x0,y0) por donde pasa la curva solución de la ecuación del plantamiento inicial, la cual se denotará cmo F(x)=y. Ya teniendo el punto P0 se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese punto; por lo tanto: Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por

6.1 Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

UNIDAD 6 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 6.1 Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en Ecuaciones diferenciales ordinarias : aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales : aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, , es la derivada de con respecto a . La expresión es una ecuación en derivadas pa

Metodos Numericos

Buscar este blog