6.1 Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

UNIDAD 6 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

6.1 Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen enEcuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde $\,y$ representa una función no especificada de la variable independiente $\,x$ , es decir, $\,y=f(x)$ , $y'=\frac{dy}{dx}$ es la derivada de $\,y$ con respecto a $\,x$ .

La expresión $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0$

es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma $\, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x)$ , es decir:
- Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
- En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
- Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
- Ejemplos:
  - $\,y'= y$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones $y = f(x) = k \cdot e^x$ , con k un número real cualquiera.
  - $\,y'' + y = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones $y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)\,$ , con a y b reales.
  - $\,y'' - y = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones $\,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x)$ , con a y b reales.